Exercice 56 / 100

NumPy — Algèbre linéaire

ConsigneUtilise np.linalg pour le produit matriciel, le déterminant et l'inverse

📖 Cours

np.linalg fournit les opérations d'algèbre linéaire essentielles : produit matriciel, déterminant, inverse, valeurs propres, etc.

Produit matriciel vs multiplication element-wise

Ne pas confondre

A * B           →  element-wise (chaque case × chaque case)A @ B           →  produit matriciel (au sens mathématique)np.dot(A, B)    →  équivalent à @ en 1D et 2D seulement (au-delà, il calcule autre chose)np.matmul(A, B) →  équivalent à @ (c'est exactement la même opération)

Pour le produit matriciel, les dimensions doivent matcher : (m, k) @ (k, n) → (m, n). Sinon erreur.

Le produit matriciel fait se rencontrer une ligne de A et une colonne de B : leurs produits terme à terme, additionnés, donnent une seule case du résultat

Exemple

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])      # (2, 2)B = np.array([[5, 6], [7, 8]])      # (2, 2)A @ B   →  [[19 22] [43 50]]A * B   →  [[ 5 12] [21 32]]

Fonctions de np.linalg

np.linalg.det(A)        déterminantnp.linalg.inv(A)        inverse (seulement si det ≠ 0)np.linalg.matrix_rank(A) rangnp.linalg.eig(A)        valeurs et vecteurs propresnp.linalg.solve(A, b)   résout Ax = b (plus stable que inv(A) @ b)np.linalg.norm(v)       norme (longueur d'un vecteur)

Valeurs et vecteurs propres

vals, vecs = np.linalg.eig(A)

vals → vecteur des valeurs propresvecs → matrice dont chaque COLONNE est un vecteur propre

Exemple complet

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

print('Produit:\n', np.dot(A, B))print('Déterminant A:', np.linalg.det(A))    # -2.0000000000000004, pas -2.0print('Inverse A:\n', np.linalg.inv(A))vals, _ = np.linalg.eig(A)print('Valeurs propres:', vals)

det passe par un calcul en nombres flottants : il affiche -2.0000000000000004 et non -2.0. Ne teste donc jamais un déterminant avec == 0, compare plutôt abs(det) à un très petit seuil.

Pour résoudre un système linéaire Ax = b, préfère np.linalg.solve(A, b) à np.linalg.inv(A) @ b : plus rapide, plus stable numériquement.