Systèmes d'équations

Un système d'équations 2×2 est composé de deux équations à deux inconnues (souvent x et y). On cherche le couple (x, y) qui vérifie les deux équations en même temps.

Méthode par substitution

Idée : on exprime une inconnue en fonction de l'autre, puis on remplace dans la 2ème équation.

Étapes :

1. Prendre l'équation la plus simple, isoler une inconnue (par exemple y = ...).
2. Remplacer cette inconnue par son expression dans l'autre équation.
3. Résoudre l'équation à une seule inconnue obtenue.
4. Reporter la valeur trouvée dans l'expression du 1. pour avoir la 2ème inconnue.

Exemple : x + y = 10 et 2x − y = 5

1. De la 1ère équation : y = 10 − x

2. Dans la 2ème équation, on remplace y : 2x − (10 − x) = 5

3. On résout : 2x − 10 + x = 5 3x − 10 = 5 3x = 15 x = 5

4. On reporte dans y = 10 − x : y = 10 − 5 = 5

Solution : (x, y) = (5, 5)

Vérification

On remplace dans les deux équations de départ :

• 5 + 5 = 10 ✓
• 2×5 − 5 = 10 − 5 = 5 ✓

Méthode alternative : combinaison linéaire (addition)

Idée : additionner ou soustraire les équations pour faire disparaître une inconnue.

Reprenons x + y = 10 et 2x − y = 5. En additionnant les deux : (x + y) + (2x − y) = 10 + 5 → 3x = 15 → x = 5 (le y a disparu !)

Puis on trouve y comme avant : y = 5.

La combinaison marche bien quand un coefficient est l'opposé de l'autre (ici +y et −y).