Exercice 40 / 60

Esperance et variance

Mesures centrales et de dispersion d'une variable aleatoire

Esperance E(X) : valeur moyenne attendue. Pour une VA discrete : E(X) = Σ xᵢ × P(X = xᵢ) Pour une VA continue : E(X) = ∫ x × f(x) dx

L'espérance dit où se tient la variable, la variance de combien elle s'en écarte : décaler la variable déplace la première et laisse la seconde inchangée, ce que le carré du coefficient explique

Variance Var(X) : mesure de la dispersion. Var(X) = E(X²) - [E(X)]² Ou : Var(X) = Σ (xᵢ - μ)² × P(X = xᵢ)

Ecart-type : σ = √Var(X)

Proprietes :

E(aX + b) = a·E(X) + b
Var(aX + b) = a²·Var(X)
Si X et Y independants : Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)

En ML : l'esperance est utilisee dans les fonctions de cout, la variance mesure l'incertitude du modele (biais-variance tradeoff).

✏️ Exercice

Un de truque a les probabilites suivantes :

P(1)=0.1, P(2)=0.1, P(3)=0.2, P(4)=0.2, P(5)=0.2, P(6)=0.2

Calculez E(X) et Var(X).