Loi binomiale

La loi binomiale B(n, p) modelise le nombre de succes en n essais independants, chacun avec probabilite de succes p.

La formule binomiale a trois morceaux : le nombre de façons de placer les succès parmi les essais, la probabilité de ces succès, et celle des échecs restants, chacun avec son propre exposantFermer

Formule : P(X = k) = C(n,k) × pᵏ × (1-p)ⁿ⁻ᵏ

Parametres :

• Esperance : E(X) = n × p
• Variance : Var(X) = n × p × (1-p)
• Ecart-type : σ = √(n × p × (1-p))

Exemple : lancer 5 fois un de, P(six) = 1/6 P(2 six) = C(5,2) × (1/6)² × (5/6)³ = 10 × 1/36 × 125/216 = 1250/7776 = 625/3888 ≈ 0.1608

Retenir quel exposant va avec quoi : k va avec p (les succes) et n - k avec 1 - p (les echecs). Ici 2 six et 3 non-six. Intervertir les deux donnerait 10 × (5/6)² × (1/6)³ = 125/3888 ≈ 0.0322, soit cinq fois moins. (Avec une piece equilibree, p = 1 - p = 0.5 et l'erreur ne se verrait pas.)

Conditions : essais independants, meme p, deux issues possibles.

En ML : la classification binaire suit une loi de Bernoulli (binomiale avec n=1).