Exercice 36 / 60

Convergence de suites et series

Criteres de convergence et sommes infinies

Une suite converge si elle tend vers une limite finie quand n → ∞.

Chaque terme ajoute la moitié de ce qui manque : les sommes partielles s'entassent près de 2 sans jamais l'atteindre, et c'est ce qu'on appelle converger

Serie geometrique infinie : si |q| < 1 : S∞ = a₁ / (1 - q)

Exemple : 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... a₁ = 1, q = 1/2 S∞ = 1/(1 - 1/2) = 1/(1/2) = 2

Criteres de convergence :

Si |q| ≥ 1, la serie geometrique diverge
Critere de d'Alembert : lim |aₙ₊₁/aₙ| < 1 → converge
Serie harmonique (1 + 1/2 + 1/3 + ...) → diverge !

En ML : la convergence du gradient descent depend du learning rate. Si le taux est trop grand, ca diverge.

✏️ Exercice

S = 6 + 3 + 3/2 + 3/4 + ...

Cette serie converge-t-elle ? Si oui, calculez la somme.