Exercice 32 / 60

Applications des derivees

Extrema, points critiques et optimisation

Points critiques : les points ou f'(x) = 0 ou f'(x) n'existe pas.

Là où la dérivée s'annule, la courbe est plate : c'est la dérivée seconde qui dit s'il s'agit d'un creux ou d'une bosse, positive pour un minimum, négative pour un maximum

Test de la derivee seconde :

f''(x₀) > 0 → minimum local
f''(x₀) < 0 → maximum local
f''(x₀) = 0 → test non concluant

Procedure d'optimisation :

Calculer f'(x)
Resoudre f'(x) = 0
Verifier avec f''(x)

Exemple : f(x) = x² - 6x + 5 f'(x) = 2x - 6 = 0 → x = 3 f''(x) = 2 > 0 → minimum en x = 3 f(3) = 9 - 18 + 5 = -4

En ML : trouver le minimum de la fonction de cout est exactement un probleme d'optimisation.

✏️ Exercice

f(x) = x³ - 3x + 2

Trouvez les points critiques et determinez leur nature (min/max).