Exercice 28 / 60

Valeurs propres et vecteurs propres

Introduction aux eigenvalues et eigenvectors

Un vecteur propre v d'une matrice A est un vecteur non nul tel que : A × v = λ × v

Un vecteur propre est celui que la matrice ne fait pas tourner : elle ne fait que l'étirer, ici trois fois. Un vecteur ordinaire, lui, change de direction en passant par la matrice

ou λ (lambda) est la valeur propre associee.

Comment les trouver :

Resoudre det(A - λI) = 0 pour trouver les valeurs propres λ
Pour chaque λ, resoudre (A - λI)v = 0 pour trouver les vecteurs propres

Pour une matrice 2×2 A = [[a,b],[c,d]] : det(A - λI) = (a-λ)(d-λ) - bc = 0 λ² - (a+d)λ + (ad-bc) = 0 λ² - trace(A)λ + det(A) = 0

En ML : PCA utilise les valeurs propres pour determiner quelles directions captent le plus de variance.

✏️ Exercice

A = [[4, 2], [1, 3]]

Trouvez les valeurs propres de A.