Exercice 24 / 60

Projection orthogonale

Projeter un vecteur sur un autre vecteur

La projection orthogonale de u sur v est le vecteur : proj_v(u) = ((u · v) / (v · v)) × v

Projeter u sur v, c'est prendre l'ombre de u dans la direction de v : le trait perpendiculaire descend de la pointe de u, et ce qu'il touche est la projection

Elle represente la "composante" de u dans la direction de v.

Etapes :

Calculer u · v (produit scalaire)
Calculer v · v = ||v||²
Calculer le scalaire k = (u · v) / (v · v)
proj_v(u) = k × v

Exemple : u = (3, 4), v = (1, 0) u · v = 3, v · v = 1 proj_v(u) = 3 × (1, 0) = (3, 0)

En ML : la projection est la base de PCA (analyse en composantes principales) pour reduire les dimensions.

✏️ Exercice

u = (4, 3), v = (2, 1).

Calculez la projection de u sur v.