Exercice 17 / 60
Corrélation et covariance
Mesurer la relation entre deux variables
La covariance et la corrélation mesurent à quel point deux variables X et Y évoluent ensemble.
1. La covariance
Formule : Cov(X, Y) = Σ (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / n
Interprétation du signe :
- Cov > 0 : quand X augmente, Y a tendance à augmenter (même sens)
- Cov < 0 : quand X augmente, Y a tendance à diminuer (sens opposé)
- Cov ≈ 0 : pas de lien linéaire évident
Limite : la valeur de Cov dépend des unités de X et Y → difficile à comparer entre différents jeux de données.
2. La corrélation de Pearson (r)
C'est une version normalisée de la covariance, sans unité et bornée entre −1 et +1.
Formule : r = Cov(X, Y) / (σ_X × σ_Y)
3. Interprétation de r
| Valeur de r | Force | Sens |
|---|---|---|
| r = +1 | parfaite | positive |
| 0,7 ≤ r < 1 | forte | positive |
| 0,3 ≤ r < 0,7 | modérée | positive |
| 0 < r < 0,3 | faible | positive |
| r = 0 | aucune | — |
| −0,3 < r < 0 | faible | négative |
| −0,7 < r ≤ −0,3 | modérée | négative |
| −1 < r ≤ −0,7 | forte | négative |
| r = −1 | parfaite | négative |
Les seuils ci-dessus sont indicatifs : ils varient selon les domaines.
4. Exemple d'interprétation
- r = 0,92 → corrélation forte et positive. Les variables varient quasi proportionnellement dans le même sens.
- r = −0,3 → corrélation faible (à modérée) et négative. Léger lien : quand X augmente, Y a légèrement tendance à diminuer.
- r = 0,01 → aucune corrélation linéaire. Les variables semblent indépendantes (au moins linéairement).
5. Pièges à connaître
- Corrélation ≠ causalité : deux variables corrélées n'ont pas forcément un lien causal (peut être une coïncidence ou une troisième variable cachée).
- r ne capte que les relations linéaires. Deux variables liées par une courbe (ex : parabole) peuvent avoir r ≈ 0 alors qu'elles sont liées.
- Outliers : une seule valeur extrême peut fausser fortement r.
✏️ Exercice
Interprétez ces valeurs de r :
r = 0.92, r = -0.3, r = 0.01