Loi normale

La loi normale (ou loi de Gauss, ou « courbe en cloche ») est la distribution la plus utilisée en statistiques. Beaucoup de phénomènes naturels la suivent (tailles, notes, erreurs de mesure…).

On la note N(μ, σ²) :

• μ = moyenne (centre de la cloche)
• σ = écart-type (largeur de la cloche)
• σ² = variance

1. Forme de la courbe

• Symétrique autour de μ
• Pic au centre, queue qui décroît vers ±∞
• Plus σ est petit, plus la cloche est étroite (données concentrées autour de μ)
• Plus σ est grand, plus la cloche est aplatie (données dispersées)

2. Règle des 68 - 95 - 99,7

C'est la propriété à retenir : la plage [μ ± kσ] contient un pourcentage fixe des données.

Intervalle	Pourcentage
[μ − σ ; μ + σ]	68 %
[μ − 2σ ; μ + 2σ]	95 %
[μ − 3σ ; μ + 3σ]	99,7 %

Hors de [μ ± 3σ] : moins de 0,3 % des données. Ces valeurs sont considérées comme exceptionnelles.

3. Méthode

Pour répondre à une question du type « entre quelles valeurs trouve-t-on x % des observations » :

1. Identifier μ et σ.
2. Choisir k selon le pourcentage : 68% → k=1, 95% → k=2, 99,7% → k=3.
3. Calculer μ − kσ et μ + kσ.

4. Exemple complet

Notes d'examen : μ = 12, σ = 2

68% des élèves entre… k = 1 → [μ − σ ; μ + σ] = [12 − 2 ; 12 + 2] = [10 ; 14]

95% des élèves entre… k = 2 → [μ − 2σ ; μ + 2σ] = [12 − 4 ; 12 + 4] = [8 ; 16]

99,7% entre… k = 3 → [μ − 3σ ; μ + 3σ] = [12 − 6 ; 12 + 6] = [6 ; 18]

→ Une note de 18 ou plus est très rare (< 0,15% des élèves). Une note de 20 est presque impossible.

5. Utilité en data science

• Détecter des valeurs aberrantes (outliers) : tout point au-delà de 3σ est suspect.
• Normaliser des données (z-score : z = (x − μ) / σ).
• Beaucoup de modèles ML supposent que les erreurs suivent une loi normale.