Probabilités conditionnelles

Une probabilité conditionnelle P(A|B) répond à la question : « sachant que B est arrivé, quelle est la probabilité que A arrive aussi ? »

1. Formule de base

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

• P(A ∩ B) = probabilité que A et B se produisent en même temps.
• P(B) = probabilité que B se produise.
• On lit « P de A sachant B ».

2. Intuition

Quand on sait que B est arrivé, on réduit l'univers à seulement les cas où B est vrai. La probabilité de A change car le contexte a changé.

Ex : sur 100 personnes, 30 boivent du café (B) et 12 boivent café + thé (A ∩ B). Sachant qu'une personne boit du café, P(thé | café) = 12/30 = 40%

3. Le théorème de Bayes

Il permet d'inverser une probabilité conditionnelle quand on a P(B|A) mais qu'on cherche P(A|B).

P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)

C'est essentiel en data science (filtres anti-spam, diagnostics, ML…).

4. Calculer P(B) avec la formule des probabilités totales

Si A et son contraire Ā couvrent tous les cas : P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|Ā) × P(Ā)

C'est souvent indispensable pour appliquer Bayes.

5. Exemple complet

Dans une classe : 60% filles (F), 40% garçons (G). 80% des filles ont le bac (B), 70% des garçons ont le bac.

On cherche : P(F | B) = probabilité d'être une fille sachant que la personne a le bac.

Étape 1 — Identifier ce qu'on a

• P(F) = 0,6 et P(G) = 0,4
• P(B|F) = 0,8 et P(B|G) = 0,7

Étape 2 — Calculer P(B) (proba totale d'avoir le bac) P(B) = P(B|F) × P(F) + P(B|G) × P(G) = 0,8 × 0,6 + 0,7 × 0,4 = 0,48 + 0,28 = 0,76

Étape 3 — Appliquer Bayes P(F|B) = P(B|F) × P(F) / P(B) = 0,8 × 0,6 / 0,76 = 0,48 / 0,76 ≈ 0,632 soit 63 %

Interprétation : parmi les personnes qui ont le bac, environ 63 % sont des filles.