Écart-type et variance

L'écart-type et la variance mesurent à quel point les données sont dispersées autour de la moyenne.

• Petits → données regroupées autour de la moyenne.
• Grands → données très étalées.

1. La variance σ²

Formule : σ² = Σ(xᵢ − μ)² / n

En mots :

1. Calculer la moyenne μ.
2. Pour chaque valeur xᵢ, calculer l'écart à la moyenne (xᵢ − μ).
3. Élever au carré chaque écart (pour éliminer les signes négatifs).
4. Additionner tous les écarts au carré.
5. Diviser par le nombre n de valeurs.

2. L'écart-type σ

Formule : σ = √variance = √σ²

C'est la racine carrée de la variance. On l'utilise plus souvent que la variance car il a la même unité que les données (alors que la variance est dans l'unité au carré).

3. Pourquoi élever au carré ?

Si on additionnait juste les écarts (xᵢ − μ), les écarts positifs et négatifs s'annuleraient (par définition, leur somme vaut 0). Le carré rend tous les écarts positifs et amplifie les grands écarts.

4. Méthode complète

Ex : [2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9] (n = 8)

Étape 1 — Moyenne : μ = (2+4+4+4+5+5+7+9)/8 = 40/8 = 5

Étape 2 — Écarts à la moyenne et carrés :

x	x − μ	(x − μ)²
2	−3	9
4	−1	1
4	−1	1
4	−1	1
5	0	0
5	0	0
7	2	4
9	4	16

Étape 3 — Somme des carrés : 9+1+1+1+0+0+4+16 = 32

Étape 4 — Variance : σ² = 32/8 = 4

Étape 5 — Écart-type : σ = √4 = 2

5. Interprétation

• σ = 0 → toutes les valeurs sont égales (aucune dispersion)
• σ petit → données groupées (régulières)
• σ grand → données très dispersées (irrégulières)