Polynômes du 2nd degré

Un polynôme du 2nd degré s'écrit sous la forme ax² + bx + c avec a ≠ 0. Une équation du 2nd degré est ax² + bx + c = 0.

Son graphique est une parabole :

• a > 0 : parabole ouverte vers le haut (∪)
• a < 0 : parabole ouverte vers le bas (∩)

1. Le discriminant Δ

C'est la clé pour résoudre. Il se calcule par :

Δ = b² − 4ac

2. Trois cas selon le signe de Δ

Cas 1 : Δ > 0 → deux racines réelles distinctes x₁ = (−b − √Δ) / (2a) x₂ = (−b + √Δ) / (2a) La parabole coupe l'axe des x en deux points.

Cas 2 : Δ = 0 → une racine double x = −b / (2a) La parabole touche l'axe des x en un seul point (sommet).

Cas 3 : Δ < 0 → pas de racine réelle La parabole ne coupe pas l'axe des x.

3. Méthode pas à pas

Pour résoudre x² − 5x + 6 = 0 :

Étape 1 — Identifier a, b, c : a = 1, b = −5, c = 6

Étape 2 — Calculer Δ : Δ = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1

Étape 3 — Δ > 0 → deux racines : x₁ = (−(−5) − √1) / (2×1) = (5 − 1) / 2 = 4/2 = 2 x₂ = (−(−5) + √1) / (2×1) = (5 + 1) / 2 = 6/2 = 3

4. Astuce : la factorisation

Si tu repères deux nombres dont la somme = −b/a et le produit = c/a, tu trouves les racines directement.

Pour x² − 5x + 6 = 0 : on cherche deux nombres de somme 5 et de produit 6 → 2 et 3.

Donc x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), et les racines sont 2 et 3.