Exercice 52 / 60

Theoreme central limite (TCL)

La moyenne d'echantillons converge vers une loi normale

Le Theoreme Central Limite (TCL) est l'un des resultats les plus importants en statistiques :

Le théorème central limite dit que la moyenne d'un échantillon se répartit en cloche autour de la vraie moyenne, quelle que soit la loi de départ, et que cette cloche se resserre à mesure que l'échantillon grandit

Si X₁, X₂, ..., Xₙ sont i.i.d. avec E(Xᵢ)=μ et Var(Xᵢ)=σ², alors : X̄ₙ = (X₁+...+Xₙ)/n

Quand n → ∞ : X̄ₙ ~ N(μ, σ²/n) (approximativement)

Ou de facon equivalente : Z = (X̄ - μ) / (σ/√n) ~ N(0, 1)

Points cles :

Fonctionne quelle que soit la distribution originale
En pratique, n ≥ 30 suffit generalement
Plus la distribution originale est asymetrique, plus n doit etre grand

Consequences :

Justifie l'utilisation de la loi normale pour les intervalles de confiance
Explique pourquoi tant de phenomenes naturels suivent une loi normale

En ML : le TCL justifie les hypotheses de normalite dans de nombreux tests et modeles.

✏️ Exercice

Une population a μ=50, σ=12. On tire des echantillons de taille n=36.

Quelle est la probabilite que la moyenne d'un echantillon soit entre 48 et 52 ?

(P(Z<1) ≈ 0.8413)