Theoreme central limite (TCL)

Le Theoreme Central Limite (TCL) est l'un des resultats les plus importants en statistiques :

Le théorème central limite dit que la moyenne d'un échantillon se répartit en cloche autour de la vraie moyenne, quelle que soit la forme de la loi de départ pourvu qu'elle ait une variance finie, et que cette cloche se resserre à mesure que l'échantillon granditFermer

Si X₁, X₂, ..., Xₙ sont i.i.d. avec E(Xᵢ)=μ et Var(Xᵢ)=σ², alors : X̄ₙ = (X₁+...+Xₙ)/n

Quand n → ∞ : X̄ₙ ~ N(μ, σ²/n) (approximativement)

Ou de facon equivalente : Z = (X̄ - μ) / (σ/√n) ~ N(0, 1)

Points cles :

• Fonctionne quelle que soit la forme de la distribution originale, a une condition : qu'elle ait une moyenne et une variance finies. La loi de Cauchy, qui n'en a pas, echappe au TCL, et la moyenne de 10 000 tirages y est aussi dispersee que celle de 30.
• En pratique, n ≥ 30 suffit generalement
• Plus la distribution originale est asymetrique, plus n doit etre grand

Consequences :

• Justifie l'utilisation de la loi normale pour les intervalles de confiance
• Explique pourquoi tant de phenomenes naturels suivent une loi normale

En ML : le TCL justifie les hypotheses de normalite dans de nombreux tests et modeles.