Exercice 51 / 60

Distributions jointes

Probabilites jointes, marginales et conditionnelles pour 2 variables

Distribution jointe : P(X=x, Y=y) donne la probabilite que X=x ET Y=y simultanement.

Une distribution jointe se lit dans un tableau : chaque case donne la probabilité d'un couple, et les marges, en somme de chaque ligne et de chaque colonne, redonnent les lois de X et de Y

Distribution marginale : somme sur une variable. P(X=x) = Σ_y P(X=x, Y=y) P(Y=y) = Σ_x P(X=x, Y=y)

Distribution conditionnelle : P(Y=y | X=x) = P(X=x, Y=y) / P(X=x)

Independance : X et Y sont independants ssi : P(X=x, Y=y) = P(X=x) × P(Y=y) pour tout x, y

Covariance : Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)

Cov > 0 : correlation positive
Cov < 0 : correlation negative
Cov = 0 : non correlees (mais pas forcement independantes !)

En ML : comprendre les distributions jointes est essentiel pour les modeles bayesiens et les modeles generatifs.

✏️ Exercice

Table de distribution jointe : Y=0 Y=1 X=0 0.2 0.1 X=1 0.3 0.4

a) P(X=1) = ? b) P(Y=0 | X=1) = ? c) X et Y sont-ils independants ?