Exercice 50 / 60
Loi exponentielle
Modeliser le temps d'attente entre evenements
La loi exponentielle Exp(λ) modelise le temps d'attente entre deux evenements de Poisson.
Densite : f(x) = λ × e⁻λˣ pour x ≥ 0
Fonction de repartition : F(x) = P(X ≤ x) = 1 - e⁻λˣ Donc : P(X > x) = e⁻λˣ
Proprietes :
- E(X) = 1/λ
- Var(X) = 1/λ²
- Sans memoire : P(X > s+t | X > s) = P(X > t)
Exemple : si λ = 2 (2 evenements/heure)
- Temps moyen d'attente : 1/2 = 0.5 heure = 30 minutes
- P(attendre plus d'1h) = e⁻² ≈ 0.135
En ML : utilisee pour modeliser les durees de vie, temps de reponse, intervalles entre evenements.
✏️ Exercice
La duree de vie d'une ampoule suit Exp(λ = 0.001) (en heures).
a) Duree de vie moyenne ?
b) P(X > 2000) ?
c) P(X ≤ 500) ?