Matrices - bases

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres rangés en lignes et colonnes.

Le produit de deux matrices fait se rencontrer une ligne de A et une colonne de B : leur produit terme à terme, additionné, donne une seule case du résultat, ce qui oblige A à avoir autant de colonnes que B a de lignesFermer

Une matrice de m lignes et n colonnes est dite « de taille m × n ».

Ex : A = [[1, 2], [3, 4]] est une matrice 2 × 2 (2 lignes, 2 colonnes).

1. Addition de matrices

Condition : les deux matrices doivent avoir la même taille. Règle : on additionne élément par élément.

Ex : [[1, 2], [3, 4]] + [[5, 6], [7, 8]] = [[1+5, 2+6], [3+7, 4+8]] = [[6, 8], [10, 12]]

2. Multiplication par un nombre (scalaire)

On multiplie chaque élément par le nombre.

Ex : 3 × [[1, 2], [3, 4]] = [[3, 6], [9, 12]]

3. Multiplication de deux matrices A × B

Condition de compatibilité : le nombre de colonnes de A doit être égal au nombre de lignes de B.

A (m × n) × B (n × p) = C (m × p)

Règle (somme produit) : L'élément en ligne i, colonne j du produit est :

C[i][j] = somme sur k de A[i][k] × B[k][j]

C'est-à-dire : on prend la ligne i de A, la colonne j de B, on multiplie terme à terme et on somme.

4. Exemple complet : A × B avec A = [[1,2],[3,4]], B = [[5,6],[7,8]]

Les deux matrices sont 2×2 → produit possible, résultat 2×2.

Élément C[0][0] (ligne 0 de A × colonne 0 de B) : 1×5 + 2×7 = 5 + 14 = 19

Élément C[0][1] (ligne 0 de A × colonne 1 de B) : 1×6 + 2×8 = 6 + 16 = 22

Élément C[1][0] (ligne 1 de A × colonne 0 de B) : 3×5 + 4×7 = 15 + 28 = 43

Élément C[1][1] (ligne 1 de A × colonne 1 de B) : 3×6 + 4×8 = 18 + 32 = 50

Résultat : A × B = [[19, 22], [43, 50]]

5. Attention

• La multiplication des matrices n'est pas commutative : en général A × B ≠ B × A.
• En data science / ML : les données (X) sont des matrices, les poids (W) sont des matrices, les prédictions = X × W.