Puissances et racines

aⁿ signifie a multiplié n fois par lui-même. Ex : 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. On dit "2 puissance 3".

1. Règles de calcul

Multiplication (même base) : on additionne les exposants. aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ Ex : 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128

Division (même base) : on soustrait les exposants. aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ Ex : 2⁷ / 2² = 2⁷⁻² = 2⁵ = 32

Puissance d'une puissance : on multiplie les exposants. (aⁿ)ᵐ = aⁿˣᵐ Ex : (2³)² = 2³ˣ² = 2⁶ = 64

2. Cas particuliers

Exposant 0 : tout nombre (≠ 0) à la puissance 0 vaut 1. a⁰ = 1 Ex : 7⁰ = 1, (−3)⁰ = 1

Exposant négatif : on inverse la base. a⁻ⁿ = 1/aⁿ Ex : 2⁻³ = 1/2³ = 1/8

Exposant 1 : aⁱ = a (la base elle-même).

3. Racines

La racine carrée de a (notée √a) est le nombre positif x tel que x² = a. Ex : √9 = 3 (car 3² = 9), √25 = 5

En notation puissance : √a = a^(1/2) Plus généralement, ⁿ√a = a^(1/n) (racine n-ième).

4. Exemple complet (l'exercice)

2³ × 2⁴ / 2² = 2³⁺⁴ / 2² (multiplication : on additionne) = 2⁷ / 2² = 2⁷⁻² (division : on soustrait) = 2⁵ = 32